2편에서 다룬 Lang1 ~ Lang5를 활용해서 Solvability와 관련된 이야기를 해보도록 하자.사실 Solvable group의 떡밥은 Galois Theory쯤 가야 풀리지만, 우리 랭형은 존나 강하시기 때문에 그런 건 신경쓰지 않으신다. 꼬우면 너가 Chapter IV를 보던가! 하신다. Tower of subgroups Group GGG에 대해서, Gi≥Gi+1G_{i} \ge G_{i+1}Gi​≥Gi+1​인 subgroup들의 나열을 Tower라고 한다. {Gi}:=G=G0≥G1≥G2≥⋯≥Gm\{G_{i}\} := G = G_{0} \ge G_{1} \ge G_{2} \ge \cdots \ge G_{m} {Gi​}:=G=G0​≥G1​≥G2​≥⋯≥Gm​ 만약 모든 iii에 대해서 Gi+1⊴GiG_{i+1} \unlhd G_{i}Gi+1​⊴Gi​면 이 Tower를 Normal tower라고 한다.Nor..

계속해서 가자.Canonical Map Canonical Map φ:G→G/H\varphi : G \to G/Hφ:G→G/H는 말 그대로 φ(x)=xH\varphi(x) = xHφ(x)=xH인 '압축' Map이다.이 자체가 중요하다기보단, 앞으로 Group Homomorphism을 쪼갤(factorize) 때 얘가 factor로 많이 등장한다. Lang1. 얘에 따로 이름이 있긴 한 것 같은데, 책 저자마다 번호가 다르단다. 난 그냥 Lang1이라고 부른다. Group homomorphism f:G→G′f : G \to G'f:G→G′이 있다. 이 때 H=ker⁡(f)H = \ker (f)H=ker(f)라고 하자. 이 때 fff를 (Canonical Map φ\varphiφ) + (유일하게 정의되는 injective map f∗:G/H→G′f_{*} : G/H \to G'f∗​:G/H→G′)로 ..

Lang에게 열심히 고통받고 있다.앞으로도 이해가 안 가는 내용을 부정기적으로 끄적거리려고 한다. Note. 여기서는 Lang만 쓰는 것 같은 Group - wise 곱셈 notation을 차용한다.즉, aG={ag:g∈G},Ga={ga:g∈G}aG = \left\{ ag : g \in G\right\}, Ga = \left\{ ga : g \in G\right\}aG={ag:g∈G},Ga={ga:g∈G}이고, GH={gh:g∈G,h∈H}GH = \left\{ gh : g \in G, h \in H \right\}GH={gh:g∈G,h∈H}이다.이것들을 굉장히 암시적으로, 또 빈번히 써먹을 예정이다. 따라서 계산 하나하나가 그다지 자명하지 않으니 잘 따라와주시길. Motivation: Kernel Group Normal subgroup의 아이디어는 Group homomorphism의 Kernel에서 시작한다. Group h..

Lagrange's theorem은 군 GGG의 부분군 H≤GH \le GH≤G에 대해, ∣H∣|H|∣H∣가 ∣G∣|G|∣G∣의 약수라는 정리이다.조금 더 일반적으로는 이렇게 쓸 수 있다.(G:K)=(G:H)(H:K) (G : K) = (G : H)(H : K) (G:K)=(G:H)(H:K) H≤GH \le GH≤G에 대해 (G:H)(G : H)(G:H)는 HHH의 coset의 개수를 의미한다. HHH의 coset들이 GGG를 분할한다는 것은 쉽게 알 수 있다. Proof. H=⨆ixiKH = \bigsqcup_{i} x_{i} KH=⨆i​xi​K, G=⨆jyjHG = \bigsqcup_{j} y_{j} HG=⨆j​yj​H라고 두자. ⨆\bigsqcup⨆은 disjoint - union을 의미한다. 그렇다면 G=⋃i,jyjxiKG = \bigcup_{i,j} y_{j}x_{i} KG=⋃i,j​yj​xi​K로 나타낼 수 있고, 모든 \(y_..

Keith의 책으로 현대대수를 공부하고 있는데, 연습문제 중에 괜찮은 개념을 담고 있거나 난도가 있는 문제들을 따로 정리해 두기로 한다. CH 2.4. Cyclic Groups and Order of an element 24. (a) hhh is the only element of order 2\text{order 2}order 2 in a group GGG. show that h∈Z(G)h \in Z(G)h∈Z(G), where Z(G)Z(G)Z(G) is the center of group GGG. (b) kkk is the only element of order 3\text{order 3}order 3 in a group GGG. What can you say about kkk? 35.(a) Let a,ba,ba,b are element..