Keith의 책으로 현대대수를 공부하고 있는데, 연습문제 중에 괜찮은 개념을 담고 있거나 난도가 있는 문제들을 따로 정리해 두기로 한다. CH 2.4. Cyclic Groups and Order of an element 24. (a) hhh is the only element of order 2\text{order 2}order 2 in a group GGG. show that h∈Z(G)h \in Z(G)h∈Z(G), where Z(G)Z(G)Z(G) is the center of group GGG. (b) kkk is the only element of order 3\text{order 3}order 3 in a group GGG. What can you say about kkk? 35.(a) Let a,ba,ba,b are element..

"AOPS 문제들이 너무 체계적이지 않다"라고 친구에게 불평했더니 IMO 쇼트를 풀어보라는 답변이 돌아왔다. 그 친구의 말을 믿어도 될런지 모르겠지만... 일단 풀거나 Give up한 순서대로 포스팅해보자. N2. (solved, 171231)Find all natural number nnn s.t. τ(n)3=4n\tau (n)^3 = 4nτ(n)3=4n.전형적인 수론함수 노가다 문제이다. 내가 잘 푸는 몇 안되는 유형... 일단 nnn을 다음과 같이 소인수분해할 수 있음이 자명하다. n=23b+1⋅p13a1p23a2⋯pt3at n = 2^{3b+1} \cdot p_{1}^{3a_1}p_{2}^{3a_2} \cdots p_{t}^{3a_{t}}n=23b+1⋅p13a1​​p23a2​​⋯pt3at​​ 이 때 \((\frac{\tau(n)^3}{4n})^{\frac{1}{3}} = \frac{3b+2}{2^{..

#003은 현재 미완성 + 비공개 상태이다.문제 링크 모든 실수 x,yx,yx,y에 대해 다음 식을 만족하는 함수 f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}f:R→R를 모두 구하여라. f(x)+f(y)2=f(x+y2)+(x−y)2 \frac{f(x)+f(y)}{2} = f(\frac{x+y}{2}) + (x-y)^2 2f(x)+f(y)​=f(2x+y​)+(x−y)2This section is intentionally left blank. (x−y)2=2x2+2y2−(x+y)2(x-y)^2 = 2x^2 + 2y^2 - (x+y)^2(x−y)2=2x2+2y2−(x+y)2이므로, 양변을 다음과 같이 정리할 수 있다. (f(x)−4x2) + (f(y)−4y2)2=f(x+y2)−(x+y)2\frac{(f(x)-4x^2) \ + \ (f(y)-4y^2)}{2} = f(\frac{x+y}{2})-(x+y)^22(f(x)−4x2) + (f(y)−4y2)​=f(2x+y​)−(x+y)2 따라서 g(x)=f(x)−4x2g(x) = f(x) - 4x^2g(x)=f(x)−4x2로 두면 다음이 성립한다. g(x)+g(y) = ..

문제 링크 홀수 소수 ppp에 대해, 1,2,⋯⌊p⌋+11,2, \cdots \lfloor \sqrt{p} \rfloor + 11,2,⋯⌊p​⌋+1의 수 중 ppp에 대한 이차비잉여가 반드시 존재함을 보여라. This section is intentionally left blank to protect you from spoiler. 가장 작은 이차비잉여를 b≤p−1b \le p-1b≤p−1라고 하고, 귀류법으로 b≥⌊p⌋+2b \ge \lfloor \sqrt{p} \rfloor + 2b≥⌊p​⌋+2라고 하자. 그렇다면 b ∣ p+rb \ | \ p+rb ∣ p+r을 만족하는 정수 0≤r≤b−10 \le r \le b-10≤r≤b−1이 존재한다. 이 때 p+r=abp + r = abp+r=ab라고 놓으면, a≥⌊p⌋+2a \ge\lfloor \sqrt{p} \rfloor + 2a≥⌊p​⌋+2일 경우 \(p = ab-r > ab..

객지 시험 공부하기 싫어서 또다시 블로그로 도망쳤다. 정수론 시험 범위랑도 겹치는 내용이어서 풀어볼 법도 했는데, 풀이를 '보임' 당해버렸다... 왜 AOPS는 백준처럼 게시물 index가 없는 걸까. AOPS 102910번 이런 식으로 링크 걸어놓으면 되게 포스팅하기 편할 것 같은데... 문제 링크 : 스포일러 주의! statement :소수 ppp에 대해 p≡−1(mod 4)p \equiv -1 (\text{mod} \ 4)p≡−1(mod 4)일 때, ∏j=1p−1(j2+1)≡4(mod p)\prod_{j=1}^{p-1} (j^2 + 1) \equiv 4(\text{mod} \ p)∏j=1p−1​(j2+1)≡4(mod p)임을 보여라. (cf : p≡1(mod 4)p \equiv 1 (\text{mod} \ 4)p≡1(mod 4)라면?)임의의 jjj에 대해, j2+1j^2 + 1j2+1은 Fp\mathbb{F}_pFp​ 상에서 다항식..

안녕하세요 탐레프입니다!첫 포스팅을 뭘로 할까 고민하다가, 시간도 없고 해서 그냥 간단한 문풀 포스팅을 하려고 해요. 아직 LaTeX를 못 익혀서 결국 다음 수식편집기로 하겠지만요...라고 다짐하다가 다음 수식편집기가 펑하고 터져서 결국 모르는 텍을 부랴부랴 배워서 포스팅했습니다. 그 때문에 가독성은... 광팡팡...텍 익히고 고칠게요.------------------------------------------------------------------------------------ 문제는 다음과 같습니다! "교실에 n명의 학생이 있다. 이 때 각 학생은 10명 또는 11명의 친구를 가지고 있으며, 아무렇게나 두 학생을 잡았을 때 그들과 공통으로 친구인 학생이 정확히 5명 있다. 이 때 가능한 학생의 ..