원래는 symmetric group에 이어서 쓰려고 했지만...The Alternating Group AnA_{n}An​ 지난 포스트에서 AnA_{n}An​을 ε(σ)=1\varepsilon (\sigma) = 1ε(σ)=1인 group으로 정의했었다. ε:Sn→{±1}\varepsilon : S_{n} \to \{ \pm 1 \}ε:Sn​→{±1}의 정의는 다음과 같다 :ε(σ)=σΔΔ;Δ:=∑i<j(xi−xj) for distinct xi. \varepsilon(\sigma) = \frac{\sigma \Delta}{\Delta}; \Delta := \sum_{i < j} (x_{i} - x_{j}) \text{ for distinct }x_{i}. ε(σ)=ΔσΔ​;Δ:=i<j∑​(xi​−xj​) for distinct xi​. 그런데 사실 ε\varepsilonε은 nnn에 그 정의가 의존하므로, 엄밀하게는 εn(σ)\varepsilon_{n} (\sigma)εn​(σ)라고 써야 맞단다...

Symmetric group은 이제껏 나온 group theory의 응용 중에서 가장 복잡하고 재미있는 주제이다. 흥미로운 lemma와 결과들이 많으니 집중해보자.Symmetric group Symmetric group SnS_{n}Sn​은 nnn개 원소들의 permutation의 집합이다. 당연히 ∣Sn∣=n!|S_{n}| = n!∣Sn​∣=n!이고, 항등원은 ι\iotaι라고 쓴다. SnS_{n}Sn​은 [n][n][n]에 translation으로 작용할 수 있고, 그 때 어떤 i∈[n]i \in [n]i∈[n]의 orbit을 cycle이라고 한다. cycle은 [i1i2⋯ir][i_{1}i_{2}\cdots i_{r}][i1​i2​⋯ir​]로 쓰고, 이는 \(\sigma(i_{1}) = i_{2}, \sigma(i_{2}) = i_{3}, \cdots \si..

1편에서는 기본적인 용어 정의를 조금 했다. 분위기를 환기해서 또 다른 정의를 여러 개 하고(...) 재밌는 이야기로 넘어가는 게 목표.Isotropy Group GGG가 SSS에 작용한다고 하자. sss의 GGG에 대한 isotropy group이란, xs=sxs = sxs=s를 만족하는 xxx들의 모임을 말한다. 표기는 GsG_{s}Gs​.만약 GGG가 GGG 위에 conjugation으로 작용한다고 하면, 어떤 원소의 isotropy group은 그 원소의 normalizer와 같다. operation의 kernel을 생각해보자. 모든 sss에 대해서 xs=sxs = sxs=s를 만족하는 x∈Gx \in Gx∈G를 말하는 거다. 잘 생각해보면 kernel KKK는 모든 isotropy ..

Cyclic group은 쉽고 또 뭐가 없는 관계로 스킵.Group Action은 쉬운데 뭐가 많다... 나중에 문제 풀 때 고통받을 것 같다.Group operation (Group Action) 집합 SSS 위로의 Group GGG의 작용(Action of GGG on SSS)는 다음의 homomorphism π:G→Perm(S)\pi : G \to \text{Perm}(S)π:G→Perm(S)를 의미한다. 여기서 작용당하는 SSS는 G-set이라고 부른다. 하지만 저 π\piπ는 두 번 다시 등장하지 않는다. 랭형이 πx∈Perm(S)\pi_{x} \in \text{Perm}(S)πx​∈Perm(S)를 s↦xss \mapsto xss↦xs라는 짱짱 강한 multiplicative notation으로 퉁쳐버렸기 때문이다. \(x(ys) = (xy)..

Lang에 적혀 있는 normal subgroup (Section 1.3)은 이게 마지막이다.Feit - Thompson같은 건 나중에 추가될지도 모르지만 굳이 이 단원에...?여담으로, 전 포스팅에서 쓸모없을 것 같다고 했던 butterfly lemma가 바로 여기 나온다. 죄송합니다 나비님...Equivalent Towers Group GGG의 두 Tower를 생각해보자. abelian일 필요는 없지만, 끝은 반드시 trivial group이어야 한다. G = H_{0} \triangleright H_{1} \triangleright \cdots \triangleright H_{r} = \{1\} \\ G = K_{0} \triangleright K_{1} \triangleright \cdo..

느그 나비의 차례! *이 포스팅에서는 Lang1 ~ Lang5라는 이름의 보조정리를 차용한다. 익숙하지 않은 사람은 2편을 보고 오자.Butterfly Lemma (Zassenhaus) 그냥 봐서는 별로 쓸모가 없어 보이지만 비중이 큰 이 lemma. 그래도 쓸모가 있으니까 lemma겠지?이름이 butterfly lemma인 이유는 Hasse diagram이 나비처럼 생겨서. Wikipedia에서 보고 오자.이 Lemma는 (Group, Normal subgroup) pair 2개로 구성된 계에 대해서 적용할 수 있다. Lemma. (Zassenhaus) U′⊴UU' \unlhd UU′⊴U, V′⊴VV' \unlhd VV′⊴V라고 하자. 이 때U′(U∩V′)⊴U′(U∩V)U'(U \cap V') \unlhd U'(U \cap V)U′(U∩V′)⊴U′(U∩V) && \..