π\piπ가 무리수임을 증명하는 과정이다. 주요 관찰들은 유용해 보이긴 한데 풀이 전체가 너무 비직관적이라... 완전히 마음에 들지는 않는다. 더 나은 풀이나 이 풀이에 대한 다른 해석이 있다면 제보 바랍니다. 실제로는 π2\pi^2π2이 무리수임만 보여도 충분하다. 증명은 π2=a/b\pi^2 = a/bπ2=a/b라고 놓은 뒤에 aaa가 어떤 자연수도 될 수 없음을 보이는 방향으로 설계한다. Proposition 1. 정수 계수 다항식 f(x)f(x)f(x)를 생각하자. 임의의 자연수 nnn과 정수 kkk에 대해서 f(n)(k)f^{(n)}(k)f(n)(k)는 n!n!n!의 배수이다. 증명 생략. 이 때 f(x)=xn(1−x)nn!f(x) = \frac{x^n(1-x)^n}{n!}f(x)=n!xn(1−x)n​을 생각하자. 여기서 f(x)f(x)f(x)의 특징을 몇 가지 뽑아낼 수 ..

Gamma Function은 여러 가지 정의가 있는데, 그 중 몇 가지 정의들은 서로 동치임이 자명하지만은 않다.여기서는 가장 대표적인 동시에 가장 대립되는 두 가지 정의를 다룬다.

*이 글은 산술-기하 평균부등식과 관련된 글이 아닙니다. 양의 실수 x>yx>yx>y의 AGM AGM(x,y)AGM(x,y)AGM(x,y)는 다음 두 수열의 극한값으로 정의된다.a0=x, g0=ya_0 = x, \ g_0 = ya0​=x, g0​=yan+1=an+gn2,gn+1=angna_{n+1} = \frac{a_n+g_n}{2}, g_{n+1}=\sqrt{a_ng_n}an+1​=2an​+gn​​,gn+1​=an​gn​​lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞gn=AGM(x,y)\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to\infty}g_n = AGM(x,y)limn→∞​an​=limn→∞​gn​=AGM(x,y) 1. Proof Of Existence {gn}\{g_n\}{gn​}이 수렴함은 단조수렴정리에 의해 자명하다. gng_ngn​의 극한값을 ggg라고 두자. 그렇다면 an=gn+12gna_n = \frac{g_{n+1}^2}{g_n}an​=gn​gn+12​​이므로 극한값은 역시 동일한 ggg가 된다. ■\blacksquare■ 2. Closed Form..