#003은 현재 미완성 + 비공개 상태이다.문제 링크 모든 실수 x,yx,yx,y에 대해 다음 식을 만족하는 함수 f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}f:R→R를 모두 구하여라. f(x)+f(y)2=f(x+y2)+(x−y)2 \frac{f(x)+f(y)}{2} = f(\frac{x+y}{2}) + (x-y)^2 2f(x)+f(y)​=f(2x+y​)+(x−y)2This section is intentionally left blank. (x−y)2=2x2+2y2−(x+y)2(x-y)^2 = 2x^2 + 2y^2 - (x+y)^2(x−y)2=2x2+2y2−(x+y)2이므로, 양변을 다음과 같이 정리할 수 있다. (f(x)−4x2) + (f(y)−4y2)2=f(x+y2)−(x+y)2\frac{(f(x)-4x^2) \ + \ (f(y)-4y^2)}{2} = f(\frac{x+y}{2})-(x+y)^22(f(x)−4x2) + (f(y)−4y2)​=f(2x+y​)−(x+y)2 따라서 g(x)=f(x)−4x2g(x) = f(x) - 4x^2g(x)=f(x)−4x2로 두면 다음이 성립한다. g(x)+g(y) = ..

HGHC는 graph theory / combinatorics에서 오랫동안 제기되어 왔던 추측을 반증하는 lemma로, 확률론적 방법의 대표적인 예제이다. 확률론적 방법의 진수를 보여주는 lemma라고 생각하는데, 확률론적 방법 전체를 소개하기에는 너무 길고, 이 정리의 증명만 포스트에 싣기로 한다. 아마 wikipedia 수준의 사전 지식 이외에는 필요하지 않을 것이다. Thanks to. claim 0. Introduction 임의의 자연수 t, ut, \ ut, u에 대해 g(G)>tg(G) > tg(G)>t와 χ(G)>u\chi (G) > uχ(G)>u를 동시에 만족하는 그래프 GGG가 존재한다. 여기서 그래프의 girth g(G)g(G)g(G)는 GGG에서 가장 작은 cycle의 크기를 의미하고, χ(G)\chi (G)χ(G)의 경우 g..

문제 링크 홀수 소수 ppp에 대해, 1,2,⋯⌊p⌋+11,2, \cdots \lfloor \sqrt{p} \rfloor + 11,2,⋯⌊p​⌋+1의 수 중 ppp에 대한 이차비잉여가 반드시 존재함을 보여라. This section is intentionally left blank to protect you from spoiler. 가장 작은 이차비잉여를 b≤p−1b \le p-1b≤p−1라고 하고, 귀류법으로 b≥⌊p⌋+2b \ge \lfloor \sqrt{p} \rfloor + 2b≥⌊p​⌋+2라고 하자. 그렇다면 b ∣ p+rb \ | \ p+rb ∣ p+r을 만족하는 정수 0≤r≤b−10 \le r \le b-10≤r≤b−1이 존재한다. 이 때 p+r=abp + r = abp+r=ab라고 놓으면, a≥⌊p⌋+2a \ge\lfloor \sqrt{p} \rfloor + 2a≥⌊p​⌋+2일 경우 \(p = ab-r > ab..

객지 시험 공부하기 싫어서 또다시 블로그로 도망쳤다. 정수론 시험 범위랑도 겹치는 내용이어서 풀어볼 법도 했는데, 풀이를 '보임' 당해버렸다... 왜 AOPS는 백준처럼 게시물 index가 없는 걸까. AOPS 102910번 이런 식으로 링크 걸어놓으면 되게 포스팅하기 편할 것 같은데... 문제 링크 : 스포일러 주의! statement :소수 ppp에 대해 p≡−1(mod 4)p \equiv -1 (\text{mod} \ 4)p≡−1(mod 4)일 때, ∏j=1p−1(j2+1)≡4(mod p)\prod_{j=1}^{p-1} (j^2 + 1) \equiv 4(\text{mod} \ p)∏j=1p−1​(j2+1)≡4(mod p)임을 보여라. (cf : p≡1(mod 4)p \equiv 1 (\text{mod} \ 4)p≡1(mod 4)라면?)임의의 jjj에 대해, j2+1j^2 + 1j2+1은 Fp\mathbb{F}_pFp​ 상에서 다항식..

Vieta Jumping은 꽤 난도가 높아 보이는 수올 문제들에서 종종 보이는 테크닉이다. 아니 사실 나한테만 어렵지 현역 수올러들은 되게 잘 쓰는 것 같다. 주로 이변수 대칭 이차식의 정수해를 bound 시킬 때 쓰인다. 이렇게 말해봐야 이해하는 데 도움이 되지 않으니, 아래의 예시를 따라오면서 감을 잡는 것을 권장한다.Problem 1. (IMO '88 #6) 음 아닌 정수 a,ba,ba,b가 ab+1∣a2+b2ab+1 | a^2+b^2ab+1∣a2+b2를 만족할 때, k=a2+b2ab+1k = \frac{a^2+b^2}{ab+1} k=ab+1a2+b2​은 완전제곱수임을 보여라. 우선 b=0b = 0b=0인 경우는 k=a2k = a^2k=a2이 되어 완전제곱수가 됨을 알 수 있다. fixed kkk에 대해 \(S := \{ (a,b) | a \ge b, \ \frac{a^..

안녕하세요 탐레프입니다!첫 포스팅을 뭘로 할까 고민하다가, 시간도 없고 해서 그냥 간단한 문풀 포스팅을 하려고 해요. 아직 LaTeX를 못 익혀서 결국 다음 수식편집기로 하겠지만요...라고 다짐하다가 다음 수식편집기가 펑하고 터져서 결국 모르는 텍을 부랴부랴 배워서 포스팅했습니다. 그 때문에 가독성은... 광팡팡...텍 익히고 고칠게요.------------------------------------------------------------------------------------ 문제는 다음과 같습니다! "교실에 n명의 학생이 있다. 이 때 각 학생은 10명 또는 11명의 친구를 가지고 있으며, 아무렇게나 두 학생을 잡았을 때 그들과 공통으로 친구인 학생이 정확히 5명 있다. 이 때 가능한 학생의 ..