화학과지만 어제 풀어본 심층 문제가 꽤 재미있어서 공유하기로 했다. Statement. 두 점 (0,1),(1,0)(0,1),(1,0)(0,1),(1,0)을 지나고, [0,1][0,1][0,1]에서 연속이며 (0,1)(0,1)(0,1)에서 두 번 미분가능한 감소함수 fff가 있다.y=f(x)y = f(x)y=f(x)의 그래프를 xxx축으로 회전한 부피와 yyy축으로 회전한 부피가 같을 때, 다음 물음에 답하시오. 단, 모든 적분은 000에서 111까지의 정적분이다. (1) ∫(f−x)2dx\int \left(f - x\right)^2 dx ∫(f−x)2dx를 구하시오.(2) ∫f−f2dx\int f - f^2 dx ∫f−f2dx가 최대가 되는 f(x)f(x)f(x)를 구하시오.This section is intentionally left blank. Hint : 1번은 간단하다. f(x)f(x)f(x)를 미리..

원본은 여기. 다음을 만족하는 연속함수 fff는 존재하지 않음을 보여라. f(0)=1,∀n∈Z0∫01xnf(x)dx=0 f(0) = 1, \forall n \in \mathbb{Z}_{0} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) dx = 0f(0)=1,∀n∈Z0​∫01​xnf(x)dx=0 사실 고등학교 수학만으로는 어렵다. 다음의 정리를 받아들이자. Weierstrass Approximation Theorem : 구간 I=[a,b]I = [a,b]I=[a,b]에서 연속인 함수 fff에 대해, fff에 '평등근사'하는 다항식 P(x)P(x)P(x)가 존재한다; i.e. 임의의 실수 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0에 대해, 모든 x∈Ix\in Ix∈I에 대해 ∣f(x)−P(x)∣<ϵ|f(x) - P(x)| < \epsilon∣f(x)−P(x)∣<ϵ이도록 하는 다항식 P(x)P(x)P(x)가 존재한다. 이제 그리 어렵지 않은 문제로 바뀐다.임의의 \(\eps..

a,b,c,d∈[0,1]a, b, c, d \in [0,1]a,b,c,d∈[0,1]이다.abcd≤427abcd \le \frac{4}{27}abcd≤274​ 또는 (1−a2)(1−b2)(1−c2)(1−d2)≤427(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \le \frac{4}{27}(1−a2)(1−b2)(1−c2)(1−d2)≤274​임을 보여라. x=ab,y=cdx = \sqrt{ab}, y = \sqrt{cd}x=ab​,y=cd​라고 두자. (1−a2)(1−b2)=(1−a2−b2+(ab)2)≤1−2ab+(ab)2=(1−x2)2(1-a^2)(1-b^2) = (1-a^2-b^2+(ab)^2) \le 1 - 2ab + (ab)^2 = (1-x^2)^2(1−a2)(1−b2)=(1−a2−b2+(ab)2)≤1−2ab+(ab)2=(1−x2)2이다.그래서 (1−a2)(1−b2)(1−c2)(1−d2)≤(1−x2)2(1−y2)2≤(1−xy)4(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \le (1-x^2)^{2}(1-y^2)^{2} \le (1-xy)^4(1−a2)(1−b2)(1−c2)(1−d2)≤(1−x2)2(1−y2)2≤(1−xy)4이다.abcd≤(xy)2abcd \le (xy)^{2}abcd≤(xy)2이므로 결국 xy≥427xy \ge \sqrt{\frac{4}{27}}xy≥274​​일 때 (1−xy)4≤427(1-xy)^4 \le \frac{4}{27}(1−xy)4≤274​임..

문제를 다 푼 사람의 후기는 여기서 볼 수 있다.요즘 실패 후기만 쓰는 것 같아서 기분이 별로다. 서울대랑 카이스트는 잘 봐야지! 문제 요약 : 1. 사골이 되어버린 유형의 확통 문제다. [1-1] A∪B∪C={1,…,6}A \cup B \cup C = \{1, \ldots , 6\}A∪B∪C={1,…,6}이고, ∣A∩B∣=2,∣B∩C∣=1|A \cap B| = 2, |B \cap C| = 1∣A∩B∣=2,∣B∩C∣=1일 때, 가능한 (A,B,C)(A,B,C)(A,B,C)의 개수를 구하여라. [1-2] D∪E={7,8,9}D \cup E = \{7,8,9\}D∪E={7,8,9}이고, ∣D∣>∣E∣≥1|D| > |E| \ge 1∣D∣>∣E∣≥1인 (D,E)(D,E)(D,E)의 개수를 구하여라. 2. 함정에 빠지기 쉽다. 하지만 함정에 빠지지 않는다면 간단히 풀리는 문제다. (난 못풀었다 ㅎ) 다음을 만족하는 [0,1][0,1][0,1]에서 연속인 함수 fff가 존재하는가? f(..