170128 함수방정식

2017. 10. 28. 16:22수학 문풀/기타

미국 가는 비행기에서 친구와 푼 문제이다. 각자 발견한 아이디어를 합쳐보니 꽤 재밌는 풀이가 나와 포스팅해본다.


 Find all function f:NN s.t. a,bN(f(a)+b)f(a+f(b))=(a+f(b))2 \text{ Find all function } f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ s.t. } \\ \forall a,b\in \mathbb{N} (f(a)+b)\cdot f(a+f(b)) = (a+f(b))^2


(step 1)

P(a,a):f( a +f(a) )=a+f(a)P(a,a) : f( \ a \ + f(a) \ ) = a+f(a)

즉, x+f(x) x + f(x) 꼴로 나타내어 지는 수들은 모두 부동점이다.

ff의 부동점들의 집합을 AA라고 하자.


그렇다면 x,yAx,y\in A에 대해 x+yAx+y \in A임을 쉽게 보일 수 있다. ()\cdots (*)


(step 2)

a+f(a)a+f(a)는 부동점이므로 이를 활용해 보자.

P(a,a+f(a)):f(2a+f(a))=[2a+f(a)]2a+2f(a)P(a, a+f(a)) : f(2a+f(a)) = \frac{[2a+f(a)]^2}{a+2f(a)}

따라서 a+2f(a)(2a+f(a))2a + 2f(a) | (2a+f(a))^2 이고, 식을 정리하면 a+2f(a)9a2a + 2f(a) | 9a^2이다.


따라서 a에 1을 대입하면 1+2f(1)91+2f(1) | 9이고, 이로부터 f(1)=14f(1) = 1 \vee 4이다.


(step 3)

f(1)=1f(1) = 1인 경우, 재귀적으로 모든 kNk\in \mathbb{N}에 대해 f(2k)=2kf(2^k) = 2^k임을 보일 수 있다. 이 때 모든 수는 이진법으로 나타낼 수 있으므로, ()(*)에 의해 f(x)=xf(x) = x가 되고, 이는 주어진 함수방정식을 만족한다.


(step 4)

f(1)=4f(1) = 4인 경우, 마찬가지로 모든 kNk \in \mathbb{N} 에 대해 f(52k)=52kf(5 \cdot 2^k) = 5 \cdot 2^k임을 알 수 있다. 즉, AA는 무한집합이다.

이 때, 적당한 AA의 원소 pp를 잡자.

P(p,1):(p+1)f(p+4)=(p+4)2P(p,1) : (p+1)\cdot f(p+4) = (p+4)^2

이 때 p+1(p+4)2p+19p+1 | (p+4)^2 \Rightarrow p+1 | 9인데, pp의 값이 8보다 커지면 모순. 따라서 조건을 만족하는 해는 f(x)=xf(x) = x 뿐이다. \blacksquare



'수학 문풀 > 기타' 카테고리의 다른 글

Putnam 2017 풀이 - 풀리는 것만  (0) 2018.11.30
2018 대수경 2분야 5번 풀이  (0) 2018.11.24
2017 Benelux MO 풀이  (0) 2018.09.29
IMO Shortlist 2000  (0) 2017.12.31
Titu - 104 정수론 풀이 #003  (0) 2017.07.14