[양자컴퓨터] #001. 양자컴을 위한 Formalism (1)

* 본 포스팅은 학교 내 양자컴퓨터 수업을 정리하기 위한 포스팅으로 다른 포스팅에 비해 길이가 짧고, 내용상의 하자가 있을 수 있습니다.

Vector Space

양자역학의 언어는 기본적으로 선형대수학이다. 개중 양자컴퓨터에 필요한 선형대수학은 이 정도로 정리할 수 있다.

Ket

Vector Space $V$의 원소를 켓(ket)이라고 하며, $\left|\psi\right>$와 같이 표기한다. 양자역학에서는 어떤 계의 '상태' 정도로 생각하면 될 것 같다.

Bra

또, 이 Vector의 dual을 브라(bra)라고 하는데, $\left|\psi\right>$의 dual을 $\left<\psi\right|$와 같이 표기한다. 직관적으로는, $\left|\psi\right>$를 $\begin{pmatrix} z_1\\ z_2\end{pmatrix}$라고 두면, 

$\left<\psi\right|$는 $\begin{pmatrix}z_1^*&z_2^*\end{pmatrix}$가 된다. 

Inner Product

Bra의 존재 이유는 Inner product를 위한 것이라고 해도 과언이 아니다. $\left|\phi\right>$와 $\left|\psi\right>$의 inner product는 $\left<\phi\right| \cdot \left|\psi\right>$, 줄여서 $\left<\phi|\psi\right>$라고 쓴다. 이 값은 스칼라(scalar)가 된다.

Operator

Operator는 Vector Space의 어떤 원소를 다른 원소에 대응시키는 일종의 함수다. Operator가 선형성을 만족할 때 이를 Linear Operator라고 하고, 양자컴에서는 Linear Operator만 다루게 된다. (따라서 앞의 Linear는 앞으로 생략한다)

Ket이 벡터라면, Operator는 행렬에 대응되는 개념이다. 아니 사실은 더 근본적인 개념이다. 추후에 논의되겠지만 Operator는 주어진 기저 하에서 어떠한 행렬로 "표현"될 수 있다. (Matrix Representation) 어떤 Operator $A$를 $\left|\psi\right>$에 작용시킨 또다른 벡터를 $A\left|\psi\right>$로 표기한다.

Hermitian Conjugate

Operator를 Dual Space로 보내기 위한 연산이다. $A$의 Hermitian Conjugate는 $A^{\dagger}=(A^T)^*$로 표기된다. 이 때 $A=A^{\dagger}$를 만족하면 $A$를 Hermitian operator라고 한다. 

이렇게 Hermitian Conjugate를 정의해놓으면 \(\text{Inner_product}(\left|\phi\right>,A\left|\psi\right>)=\text{Inner_product}(A^{\dagger}\left|\phi\right>,\left|\psi\right>)\)를 만족하게 되는데, 사실 위에 행렬을 이용하여 정의해놓은 것과 이 성질 중 어떤 게 더 본질적인지, 즉 어떤 것을 정의라고 해야 할지는 많이 헷갈린다.